10分で見るPoincare予想*1、もとい定理

「ペレルマン氏、フィールズ賞初辞退　ポアンカレ解け引退」-asahi.comというニュースをみて、いまさらPoincare予想について思い出したわけだ。俺も昔はここらへんやろうかと思ってたんだが、今じゃ定理の意味を理解するのがやっとだ。ましてや証明なんか読めない。定年後の趣味がまた増えてしまった。

でも嬉しいので、日記で書いておこう。だれが読んでくれるかわからないが。

Fermat予想ほどじゃないけど、Poincare予想は数学界で重要だと目されつつも長く未解決だった予想の一つだ。Fermat予想はたんなる代数学に見えたが、モジュラーや楕円曲線と結びついてしまった。

Poincare予想はいわゆる位相幾何学 (トポロジー、あのゴムひもの幾何学とか、カップとドーナツは同じとかいってるやつ) 上の予想で、ほかの分野と結びついたか知らないけど、位相幾何学をぶった切る強力な道具 (なんかこっちの分野では手術とかいうらしいんだよ) を生み出しだ。証明はちっとも見てないけど、もちろんそういうのも使っているんだろうな。

予想を言うと「境界のないコンパクト3次元多様体で基本群が自明なものは 3次元球面に以外にない」というもの。多分、普通の人はこの時点でよくわからないでしょうね。

つたない知識で解説しようと思ったんだけど、時間が来たのでおしまい。まあ、多分すこしたてばもっと詳しい人の entryがいっぱい増えてるでしょう。

あと、数学的なことだけじゃなくて、Perelmanのことを書くのも面白そうだよね。そもそもこの予想をした Poincareもかなり変人だったらしくて、川の向こうに母親と妹を見つけたら、服着たままジャブジャブと川を渡ろうとしたとか。馬鹿だよな。

あとはほかへの影響かねえ。実を言うと、高次元トポロジーとかどう役に立つのかわからないけど。小島定吉先生が物理学云々って言ってるけど、これって超ひもあたりに貢献があるってこと?