2次元多様体を見る
しつこくポアンカレ予想について。いや、カタカナで書かないとはてなキーワードからリンクされないから。
忘れかけてるので、自分でまとめてみると、今は一所懸命多様体ってものを説明しているのだった。で、1次元多様体の例、多様体の定義から n次元の例を説明して、今度は 2次元多様体について説明しようと思っているわけだ。
Poincare予想に 2次元多様体は直接は関係ないけど、3次元多様体を想像するときの助けになる気がするので、やや詳しく説明する。
特に気にしてほしいのは「多様体の中に入って多様体を考える」ことだ。多様体を外から眺めていたのでは、あまり面白い多様体には出会えない。有名なものではクラインの壷など、3次元空間中ではありえない多様体も多いからだ。中の人からはどう見えるのだろう、という視点で見れば、その多様体の奇妙さもわかるかもしれない。
ましてや、3次元多様体になると外から見ることは不可能だ。必然的に中に入りまわりを見回して動き回ってみて、「なんかユークリッド空間とは違うなあ」と感じてもらうしかない。
4次元以上になると中に入るのも無理になるので、ちゃんとした数学の方法論が必要になるんだけど、今回は3次元球面までなのでこの辺でごまかしておく。
ここでは、2次元多様体の例として、以下のものを簡単に説明する。何のため、それぞれ同相ではない。
R2 : 2次元ユークリッド空間 (real space)
いわゆる普通の無限に広がった平面だ。いわゆる幾何学の世界でおなじみだろう。トポロジーの世界では曲がったりしてても同相である限りおなじだ。
境界はないがコンパクトでもない。
D2 : 2次元円盤 (disk)
境界のある2次元円盤。境界が角ばって正方形などになっても同相だ。
S2 : 2次元球面 (sphere)
球面、ゴムボールとかピンポンだまと形容しているもの。トポロジーの世界では立方体でもでこぼこしていても同じだ。
境界がなくコンパクトな 2次元多様体のうち、もっとも単純なものである。
見慣れたものではあるが、そこで生じる現象は結構直感に反している。たとえば、日本からアメリカに行く飛行機は、アラスカを通ったほうが近いとか。
後の解説では、これに「入ってみる」ことを説明するつもりだ。
T2 :2次元トーラス (torus)
ドーナツ(の表面)、取っ手つきのコーヒーカップ(の表面) とか呼ばれる。結構素直な一面も持つ。
これもコンパクトで境界がない多様体である。そんな多様体の中で 3次元ユークリッド空間内に埋め込めるもののうち、球面の次に複雑なもの。
P2: 射影空間 (projective space)
これは変な多様体だ。3次元ユークリッド空間には埋め込めない。いわゆる「不可能図形」だ。
メビウスの輪と同じく「向き付け不可能」という特徴を持つ。
この項ではあまり触れるつもりはないのだが、次のクラインの壷を例に出しておいて、より原始的である P2に触れないのも変かなあ、という気がするので出しておく。
K2: クラインの壷 (Klein Bottle)
不可能図形としてより有名なのはこのクラインの壷だろう。P2を二つくっつければできるので、より原始的な P2のほうを先に説明させてもらったが。
メビウスの輪を二つ、ふちに沿って貼り付けていってもできる。
とりあえずのまとめの表
| 記号 | 境界 | コンパクト | 向き付け | 基本群 | 名前 |
| R2 | なし | × | 可能 | 自明 | ユークリッド平面 |
| D2 | あり | ○ | 可能 | 自明 | 円盤 |
| - | あり | ○ | 不可 | Z | メビウスの輪 |
| S2 | なし | ○ | 可能 | 自明 | 球面 |
| T2 | なし | ○ | 可能 | Z2 | トーラス |
| P2 | なし | ○ | 不可 | Z/2 | 射影空間 |
| K2 | なし | ○ | 不可 | ?*1 | クラインの壷 |
「基本群」っていうのがこっそり付け加えられているけど、これが実は Poincare予想ではむちゃくちゃ重要な概念だ。どんなものなのかは少しまって説明する。
とりあえず「基本群が自明で境界がなく、コンパクト」という条件をもうすこしで説明しきれるはずだ。多分。
*1:実は知らない
